Fibonacci e la sequenza aurea
Leonardo da Pisa detto Fibonacci (filius Bonacci) era figlio dell’addetto alla dogana di Bogia, in Algeria, ove i Pisani intrattenevano fiorenti traffici commerciali. Egli visse tra il 1170 ed il 1250.
In quella città ebbe frequenti contatti con i matematici mussulmani e lì completò le sue conoscenze matematiche.
Molti furono i suoi contributi al progresso di questa scienza, ma il suo nome è essenzialmente legato alla famosa successione di numeri che porta il suo nome. La sua opera principale fu il Liber Abaci.
Egli ebbe anche frequenti contatti epistolari con l’imperatore Federico II.
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Questa è la famosa successione ed i suoi termini sono chiamati appunto “Sequenza Aurea o Numeri di Fibonacci”:
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 …….
I primi due termini della successione sono 1 ed 1. Tutti gli altri termini sono la somma dei due termini che li precedono:
F1 = 1
F2 = 1
F3 = 1 + 1 = 2
F4 = 2 + 1 = 3
F5 = 3 + 2 = 5
F6 = 5 + 3 = 8
F7 = 8 + 5 = 13
F8 = 13 + 8 = 21
F9 = 21 + 13 = 34
………………………..
ed in generale:
F(n) = F(n-2) + F(n-1)
Una proprietà notevolissima di questi numeri è che il rapporto tra un numero di Fibonacci e quello immediatamente precedente si avvicina sempre di più al numero 1.61803398874989…..
Questo numero è la famosa Sezione Aurea (o Numero Aureo) ed il suo valore corrispode all’espressione:
1 + radice quadrata di 5
————————————— = 1.61803398874989…..
2
Ad esempio:
377
—— = 1.618025751
233
610
—— = 1,618037135
377
987
—— = 1,618032787
610
Dunque, per n tendente all’infinito: F(n)/F(n-1) = 1.61803398874989…..
Questo numero 'magico' era conosciuto fin dall’antichità ed è certo che lo conoscessero Pitagora ed i suoi discepoli che lo chiamavano “Proporzione Divina”. Essi lo ricavavano con un procedimento che corrisponde alla attuale soluzione dell’equazione di secondo grado: x² – x – 1 = 0
Nella civiltà Greca troviamo l’uso della sezione aurea nel Partenone di Atene, nel tempio di Atena a Paestum, nelle statue di Fidia, solo per citare le opere più note.
Troviamo poi la sezione aurea nel famoso “Uomo Vitruviano” di Leonardo da Vinci e nella Venere del Botticelli.
I costruttori delle Cattedrali Medioevali usavano costantemente la sezione aurea.
Anche la natura sembra prediligere i numeri di Fibonacci: il rapporto tra l’altezza di un essere umano e l’altezza da terra dell’ombelico è la sezione aurea, così come il rapporto tra il braccio e l’avanbraccio.
Troviamo questi numeri anche nella fillotassi (ordinamento delle foglie su un gambo) e nel girasole, ma, ripeto, questi sono solo esempi.
Per quanto riguarda la Musica, aggiungo delle considerazioni dell’amica Barbara Barotti:
La musica ha numerosi legami con la matematica e si ritiene che centrale in essa sia il ruolo della Sezione Aurea.
Nel pianoforte per esempio, particolare rilievo viene dato alla struttura della tastiera, in special modo con parallelismi fra i numeri di questa e quelli di Fibonacci.
I 13 tasti delle ottave, distinti in 8 bianchi e 5 neri, a loro volta divisi in gruppi da 2 e 3 tasti ciascuno: 2, 3, 5, 8, 13 appartengono infatti alla successione di Fibonacci.
In passato si è fatto notare, che molti degli intervalli musicali “naturali” sarebbero riducibili a frazioni in termini di numeri di Fibonacci (una “sesta maggiore” di “La” e “Do” 5/3, una “sesta minore” di “Do” e “Mi” 8/5
Beethoven, nelle “33 variazioni sopra un valzer di Dabelli” suddivise la sua composizione in parti corrispondenti ai numeri di Fibonacci, il cui rapporto corrisponde al numero d’oro.